A 112 anni dalla nascita del divulgatore americano Martin Gardner, un rompicapo aiuta a scoprire la differenza tra intuire una soluzione, procedere per tentativi e costruire una dimostrazione
Prendete una scacchiera di otto caselle per lato e immaginate di togliere due caselle poste agli angoli opposti. Ne rimangono 62. Avete a disposizione 31 tessere rettangolari, ciascuna capace di coprire esattamente due caselle adiacenti, unite da un lato.
È possibile ricoprire tutta la superficie rimasta, senza sovrapporre le tessere e senza uscire dai bordi? Prima di continuare, provate a pensarci. Potete disegnare la scacchiera, ritagliare piccoli rettangoli di carta oppure immaginare diverse disposizioni. Il numero delle caselle sembra incoraggiante: 31 tessere coprono proprio 62 caselle. Ma questa corrispondenza basta a garantire che il problema abbia una soluzione?
Da una domanda così semplice può cominciare un incontro con la matematica. È il tipo di esperienza che rende ancora attuale l’opera di Martin Gardner, nato a Tulsa, negli Stati Uniti, il 21 ottobre 1914: una curiosità iniziale diventa occasione per osservare, formulare ipotesi e capire perché qualcosa sia possibile oppure impossibile.
Il gioco come modo per capire la matematica
Il 21 ottobre 2026 sono trascorsi 112 anni dalla nascita di Gardner, uno dei protagonisti della divulgazione della matematica ricreativa. Attraverso libri e articoli ha avvicinato generazioni di lettori a problemi che si potevano affrontare con strumenti elementari, ma che spesso conducevano verso idee profonde.
Il suo nome è legato soprattutto a Mathematical Games, la rubrica di Scientific American che per circa un quarto di secolo trasformò giochi, paradossi e rompicapi in appuntamenti con il ragionamento.
Alla sua origine ci fu un articolo del dicembre 1956 sugli esaflexagoni: figure di carta ripiegata che, manipolate in modo opportuno, rivelano facce apparentemente nascoste. Dal gennaio successivo cominciò la rubrica vera e propria.
La forza di questo approccio consiste nel dare al lettore qualcosa da fare. Una figura da piegare, una disposizione da cercare, una regola da esplorare. La comprensione cresce mentre si partecipa al problema.
Quando i tentativi non bastano
Torniamo alla scacchiera. Una prima strategia consiste nel sistemare le tessere in orizzontale. Quando rimane uno spazio impossibile da riempire, si cambia disposizione. Poi si provano tessere verticali, combinazioni miste, percorsi lungo i bordi.
Questi tentativi hanno un valore: aiutano a conoscere il problema e possono suggerire una regolarità. Tuttavia, non riuscire a trovare una soluzione non dimostra che una soluzione non esista.
Potremmo aver trascurato una disposizione particolarmente ingegnosa. Potremmo aver ripetuto inconsapevolmente lo stesso errore. Anche numerosi fallimenti, se non esauriscono tutte le possibilità attraverso un procedimento giustificato, lasciano aperta la domanda.
Qui emerge una distinzione fondamentale. Per dimostrare che una copertura è possibile basta mostrarne una corretta. Per dimostrare che è impossibile occorre un argomento capace di escluderle tutte.
La soluzione è nei colori
Il dettaglio decisivo è già davanti ai nostri occhi: la scacchiera alterna caselle bianche e nere. Ogni tessera, qualunque sia il suo orientamento, copre necessariamente una casella bianca e una nera. Due caselle adiacenti lungo un lato hanno infatti sempre colori diversi.
Una scacchiera completa contiene 32 caselle bianche e 32 nere. Ma due angoli opposti hanno lo stesso colore. Eliminandoli, rimangono quindi 30 caselle di un colore e 32 dell’altro.
Le 31 tessere dovrebbero invece coprire 31 caselle bianche e 31 nere. È impossibile far coincidere queste quantità. La scacchiera modificata non può essere ricoperta secondo le regole indicate. Non occorre esaminare ogni disposizione. L’argomento vale per tutte, perché si basa su una proprietà che ciascuna tessera deve rispettare.
È un esempio di ciò che in matematica si chiama invariante: una caratteristica che rimane stabile nelle operazioni consentite. In questo caso, aggiungere una tessera alla copertura aumenta sempre dello stesso numero le caselle bianche e nere occupate.
L’intuizione mette in moto, la dimostrazione spiega
Il rompicapo mostra tre momenti diversi del lavoro matematico. L’intuizione suggerisce che cosa potrebbe accadere. I tentativi permettono di esplorare le possibilità e correggere le prime impressioni. La dimostrazione stabilisce una conclusione attraverso passaggi controllabili.
Nessuno di questi momenti è superfluo. Anche una strada senza uscita può aiutare a riconoscere la struttura del problema. Il passaggio decisivo arriva quando sappiamo spiegare perché una conclusione debba valere.
Possiamo allora modificare la domanda: che cosa succede togliendo due caselle di colori diversi? L’ostacolo appena individuato scompare, ma questo, da solo, non costituisce ancora una dimostrazione della possibilità di ricoprire la figura. Per affermarlo serve un ulteriore argomento. È un’altra lezione utile: eliminare una ragione di impossibilità non equivale automaticamente a provare che qualcosa sia possibile.
Ragionare anche quando la risposta arriva subito
Questo modo di affrontare i problemi conserva un valore particolare in un ambiente digitale nel quale una risposta può arrivare in pochi secondi. Un motore di ricerca o un sistema di intelligenza artificiale può proporre la soluzione di un rompicapo. Per imparare, però, bisogna ricostruire il percorso: quali condizioni vengono utilizzate? Il ragionamento copre tutti i casi? La conclusione cambierebbe modificando una regola?
La distinzione riguarda anche la scienza. Una simulazione può esplorare molti scenari; un esperimento può mettere alla prova un’ipotesi sul mondo fisico. Una dimostrazione matematica stabilisce una conseguenza a partire da premesse definite. Comprendere la funzione di ciascuno strumento aiuta a valutare che cosa possiamo concludere dai risultati.
L’eredità di Gardner vive in questa disponibilità a fermarsi davanti a una domanda apparentemente piccola. Una scacchiera, qualche tessera e due caselle mancanti possono diventare un esercizio di attenzione e di precisione. Il piacere del gioco accompagna così una scoperta duratura: trovare una risposta è gratificante; capire perché funziona permette di farne conoscenza condivisa.
Fonti di riferimento :
- American Mathematical Society — Magical Mathematics: A Tribute to Martin Gardner
- Martin-Gardner.org — Martin Gardner and Scientific American.
Immagine : – https://opc.mfo.de/detail?photo_id=1292. Licenza CC BY-SA 2.0 de.
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